Principia... y final

Recapitulando. Para Kant las matemáticas referían al espacio y al tiempo. Eran un tipo de conocimiento sintético, y además, a priori (no se precisa experimentar 2+2=4 para saber que es cierto). Su validez universal estribaba en su íntima relación con las categorías, con los parámetros que el entendimiento utiliza para configurar la realidad. Con la condición de posibilidad de pensar y experimentar.

Bien, sólo leyéndolo uno se percata de que hay algo que no encaja. ¿Qué esto de “íntima relación”? Si quieren una nota erudita, decir que la Crítica de la Razón Pura no sólo no remataba los hilos sino que, en el intento de clarificarlo, Kant introdujo nuevos conceptos, nuevas interpretaciones no siempre congruentes entre si para mayor excitación sexual de los hermeneutas, que llevan 200 años tratando de sacar algo en claro.
No nos perdamos. Frege da el siguiente paso. También él se pregunta ¿qué es esto de una íntima relación? ¿No será más bien que las matemáticas son las categorías mismas?¿No será que son lógica?

En ese caso, las matemáticas ya no refieren a nada en concreto. Pertenecen por derecho a estos conceptos que ordenan el mundo. Son el mismísimo aparataje relacional. Un ejemplo, supón una manzana sobre un plato. El símbolo “manzana” refiere a un conjunto de datos claro. El símbolo “sobre”, en cambio, por si solo no significa nada, no apunta a conjuntos de datos. “Sobre” cobra sentido cuando lo utilizamos como relación que se establece entre “manzana” y “plato”.
Pues las matemáticas igual. El 1, el 2, el +…

¿El 1 no es nada? ¿El 2 es como una preposición, algo que cobra sentido sólo en un determinado contexto? Para probarlo, Frege deducirá la aritmética de la lógica. Lo convierte en un sistema axiomático (dado unos axiomas y unas reglas de inferencia, etc…). Obviamente, esto te condena a que tu sistema sea consistente, es decir que de tu conjunto de axiomas no se deduzca una cosa y la contraria.

Como vimos, Frege no lo consigue, pero lejos de enmendarle la plana, Russell y Whitehead apañan un parche, la teoría de tipos, que salva la paradoja de la clase de las clases que no se pertenecen a si mismas.

Bufffff. Tras siglos de debate, parece que los matemáticos pueden respirar tranquilos. ¡Hemos demostrado que las matemáticas son un lenguaje formal!

Entendámonos. Intuitivamente, y salvo que seas un platónico como Neal Stephenson, esto ya se venía venir. Las matemáticas funcionan (¡vaya que si funcionan!), serán un conjunto de reglas que nuestro entendimiento, de serie, aplica sobre el mundo… ¿Qué si no? Después de todo (y exceptuando a los ciegos), sabemos a que nos referimos cuando decimos que algo es de color rojo. Pero reconozcamos que a un matemático no debe valerle una demostración del tipo: “es intuitivo”, “todos menos los ciegos”, etc… La suma debe cuadrar.

Qué lástima y qué suerte contar con tipos como Gödel. Este platónico a ultranza se las compuso para en 1930 caracterizar el concepto de clase a partir de la propia teoría de tipos de los Principia. Una vez más, llegamos al fatal callejón sin salida de la clase de todas las clases que no se contienen a si mismas, pero esta vez, deduciéndola a partir de unos “tipos” ideados precisamente para evitar que eso pasase. A lo cual concluye Gödel asentando y probando que:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Posteriormente, y hasta ahí llego, sujetos como Türing demostraron que el mismo aserto se cumplía en el campo de los algoritmos.

Celebramos cien años pues del día que creímos que, en última instancia, el conocimiento puede reducirse a un sí o un no.


Nota1. Russell nunca dejó de ser logicista y le fue básicamente bien en la vida. De hecho, algunos lógicos piensan actualmente que se pueden habilitar sistemas axiomáticos que superen el teorema de Gödel. Filosóficamente, en cambio, parece que el caso está cerrado.

Nota2. Reclamar la indulgencia de los metafísicos especialistas frente a un texto que sólo persigue aclamar el talento de uno de los grandes hombres de ciencia que en el mundo han sido.